Energía CR

Energía Cinética

Para un sistema de partículas, se cumple que:

$$E_c=\stackrel{E_c^{\text{cm}}}{\overbrace{\frac{M}{2}{v}_{cm}^2}}+\stackrel{E_c^{\text{Sist/cm}}}{\overbrace{\sum \frac{m_i}{2}{v}_{i/cm}^2}}$$ $$\text{Rıˊgidez: }\begin{array}{rl}{\vec{v}}_{i/cm}& =\vec{\Omega }\times {\vec{r}}_{i/cm}\\ {\vec{v}}_{cm}& =\vec{\Omega }\times {\vec{r}}_{cm/cir}\end{array}$$

Si aplicamos esto, llegamos a que:

$$E_c=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\Omega }^2$$ $$\boxed{E_c=\frac{1}{2}{I}_{cir}{\Omega }^2}$$

Energía Potencial

$$E_p^{Sist}=\sum M_{i}g{h}_i$$ $$\boxed{E_p=Mg{h}_{cm}}$$

Trabajo

En el cálculo de trabajo, el procedimiento es el mismo que en un cuerpo puntual, pero se debe considerar el desplazamiento del punto del cuerpo rígido donde se aplica la fuerza

Cálculo de $\Delta x$ en $A$

$$W^F=\int F\cdot d{x}_A$$ $$v_{cm}=\Omega \times r_{cm/cir}⟹v_{cm}=\Omega .R⟹d{x}_{cm}=d\theta .R$$ $$v_a=\Omega \times r_{a/cir}⟹v_a=\Omega .(R+r)⟹d{x}_a=d\theta .(R+r)$$ $$d{x}_a=d{x}_{cm}\cdot \frac{R+r}{R}$$ $$\boxed{W^F={\int }_0^{d}F\cdot \frac{R+r}{R}d{x}_{cm}=F\cdot \frac{R+r}{R}\cdot d}$$