Álgebra de Boole

El Álgebra se define a través de las operaciones que se pueden realizar sobre un conjunto de elementos.

Cualquier relación numérica o lógica puede ser expresada en un circuito eléctrico utilizando el Álgebra de Boole

Postulados de Huntington

1. Equivalencia: Se define un conjunto $K$ objetos sujetos a una ley de equivalencia $(=)$ de modo que si $a=b$, puedo sustituir $b$ con $a$ en cualquier expresión sin afectar su validez.
2. Regla de Combinación:
   1. Si $a,b$ están en $K$. $a+b$ está en $K$.
   2. Si $a.b$ están en $K$. $a.b$ está en $K$.
3. Existencia de $0,1$
   1. tal que para todo $a$ en $K$, $a+0=a$
   2. tal que para todo a en $K$, $a.1=a$
4. Conmutatividad
   1. $a+b=b+a$
   2. $a.b=b.a$
5. Distributividad
   1. $a.(b+c)=a.b+a.c$
   2. $a+(b.c)=(a+b).(a+c)$
6. Existencia de un $\overline{a}$
   1. tal que $a.\overline{a}=0$
   2. tal que $a+\overline{a}=1$
7. Existen en $K$ al menos dos elementos que no son equivalentes entre sí

Principio de Dualidad

Si reemplazo en una expresión todo $0$ por un $1$, y todo $+$ por un $.$, entonces la expresión sigue siendo equivalente.

Teoremas

• Idempotencia: $a+a=a⟹a.a=a$
• Elemento Absorbente: $a+1=1⟹a.0=0$
• Absorción: $a+(a.b)=a⟹a.(a+b)=a$
• Asociatividad: $a+(b+c)=(a+b)+c⟹a.(b.c)=(a.b).c$
• Complemento Único: $\overline{a}$ es único.
• Involución: $\overline{\overline{a}}=a$
• En cualquier álgebra booleana: $\overline{0}=1⟹\overline{1}=0$
• Leyes de Morgan: $\overline{(a+b)}=\overline{a}.\overline{b}⟹\overline{(a.b)}=\overline{a}+\overline{b}$