Series de Fourier

Observaciones

1. Las series de Fourier describen señales periódicas como combinación lineal de señales armónicas (senos y cosenos)
2. Con esta herramienta, analizamos señales periódicas en términos de su contenido frecuencial o espectro.
3. Nos permite establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio frecuencial.

Recordamos la relación entre frecuencia y período:

$$f=1/T$$

Normalmente, hablamos de frecuencia angular

$$w=2\pi f$$

Teorema de Fourier

Este teorema garantiza que una función periódica que satisface ciertas condiciones de continuidad puede ser expresada como suma de un número infinito de funciones senoidales y de diferentes amplitudes, fases, y periodos.

$$f(t)=A_0+\sum A_i\sin (i\omega t+{\phi }_i)$$

Podemos reescribir los términos a partir del teorema de la suma, de la siguiente forma. Donde $a_0=2A_0$

$$\boxed{f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum a_n\cos (n\omega t)+\sum b_n\sin (n\omega t)}$$

Esta forma se conoce como el nombre de Expansión en Serie de Fourier.

Si definimos la base ortogonal del espacio de funciones periódicas como:

$$B=\{1,\cos (\omega t),\cos (2\omega t),\cdots ,\cos (n\omega t),\sin (\omega t),\sin (2\omega t),\cdots ,\sin (n\omega t)\}$$

Para obtener los coeficientes, proyectamos la función sobre esta base

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_d^{d+T}f(t)\cos (n\omega t)dtn=0,1,2,\cdots$$ $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_d^{d+T}f(t)\cos (n\omega t)dtn=1,2,\cdots$$

Forma Compleja de la Serie de Fourier

Podemos usar la forma exponencial de los números complejos para encontrar las siguientes equivalencias

$$\{\begin{array}{l}\sin (nwt)=\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}\\ \\ \cos (nwt)=\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}\end{array}$$

Remplazando en la serie de Fourier, y definiendo $c_{-n}$ como $c_n^{\ast }$, y que $c_0=\frac{a_0}{2}$. Llegamos a la siguiente expresión

$$f(t)=c_0+\sum c_n{e}^{in\omega t}+\sum c_{-n}{e}^{-in\omega t}$$

Podemos juntar ambas sumas en una sola integral, desde infinito negativo hasta infinito

$$\boxed{f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{in\omega t}}$$

Análogamente, como en el caso anterior, los coeficientes se encuentran a partir de la siguiente integral

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_d^{d+T}f(t)e^{-in\omega t}dtn=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

Teorema de Dirichlet

Si $f(t)$ es una función periódica que en cualquier periodo tiene:

• Un número finito de máximos y mínimos aislados
• Un número finito de puntos de discontinuidad finita

Entonces la expansión en serie de Fourier de $f(t)$ converge a $f(t)$ donde $f$ es continua y al promedio de los límites por derecha y por izquierda donde $f$ es discontinua.