Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

P.V.I. de Segundo Orden

Si tenemos un problema de valores iniciales de segundo orden:

⎩ ⎨ ⎧ y^{''} = f (x, y, y^{'}) y (x_{0}) = y_{0} y^{'} (x_{0}) = u_{0}

Luego puedo realizar una sustitución para obtener un sistema de primer orden

y^{'} = u u^{'} = f (x, y, u)

Luego, nuestro P.V.I. se vería de la siguiente forma

⎩ ⎨ ⎧ y^{'} = u u^{'} = f (x, y, u) y (x_{0}) = y_{0} u (x_{0}) = u_{0}

Ahora, podemos aplicar el método de Euler a cada ecuación del sistema

(y_{i + 1} u_{i + 1}) = (y_{i} u_{i}) + h (u_{i} f (x_{i}, y_{i}, u_{i}))

El método de Runge-Kutta de orden 4 sería:

(y_{i + 1} u_{i + 1}) = (y_{i} u_{i}) + \frac{h}{6} (m_{1} + 2 m_{2} + 2 m_{3} + m_{4} k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})

⎩ ⎨ ⎧ m_{1} = u_{i} m_{2} = u_{i} + \frac{k _{1} h}{2} m_{3} = u_{i} + \frac{k _{2} h}{2} m_{4} = u_{i} + k_{3} h

⎩ ⎨ ⎧ k_{1} = f (x_{i}, y_{i}, u_{i}) k_{2} = f (x_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{m _{1} h}{2}, u_{i} + \frac{k _{1} h}{2}) k_{3} = f (x_{i} + \frac{h}{2}, y_{i} + \frac{m _{2} h}{2}, u_{i} + \frac{k _{2} h}{2}) k_{4} = f (x_{i} + h, y_{i} + m_{3} h, u_{i} + k_{3} h)

En general, puedo expresar una ecuación diferencial de $n$ -ésimo orden de la forma:

⎩ ⎨ ⎧ y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) y (x_{0}) = u_{1, 0} y^{'} (x_{0}) = u_{2, 0} ⋮ y^{(n - 1)} = u_{n, 0}

Luego, puedo llegar a un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales.

Donde $u_{1} = y, u_{2} = y^{'}, \dots, u_{n} = y^{(n - 1)}$

⎩ ⎨ ⎧ u_{1}^{'} = u_{2} u_{2}^{'} = u_{3} ⋮ u_{n - 1}^{'} = u_{n} u_{n}^{'} = f (x, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})

⎩ ⎨ ⎧ u_{1} (x_{0}) = u_{1, 0} u_{2} (x_{0}) = u_{2, 0} ⋮ u_{n - 1} (x_{0}) = u_{n - 1, 0} u_{n} (x_{0}) = u_{n, 0}

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales, podemos usar cualquiera de los métodos vistos en cada ecuación para aproximar la solución.

Si tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de dos ecuaciones

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = f (t, x, y) y^{'} = g (t, x, y) x (t_{0}) = x_{0} y (t_{0}) = y_{0}

Entonces, podemos aplicar el método de Euler para encontrar la solución

(x_{i + 1} y_{i + 1}) = (x_{i} y_{i}) + h (f (t_{i}, x_{i}, y_{i}) g (t_{i}, x_{i}, y_{i}))

También podemos aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4

(x_{i + 1} y_{i + 1}) = (x_{i} y_{i}) + \frac{h}{6} (m_{1} + 2 m_{2} + 2 m_{3} + m_{4} k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})

⎩ ⎨ ⎧ m_{1} = f (t_{i}, x_{i}, y_{i}) m_{2} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, x_{i} + \frac{m _{1} h}{2}, y_{i} + \frac{k _{1} h}{2}) m_{3} = f (t_{i} + \frac{h}{2}, x_{i} + \frac{m _{2} h}{2}, y_{i} + \frac{k _{2} h}{2}) m_{4} = f (t_{i} + h, x_{i} + m_{3} h, y_{i} + k_{3} h)

⎩ ⎨ ⎧ k_{1} = g (t_{i}, x_{i}, y_{i}) k_{2} = g (t_{i} + \frac{h}{2}, x_{i} + \frac{m _{1} h}{2}, y_{i} + \frac{k _{1} h}{2}) k_{3} = g (t_{i} + \frac{h}{2}, x_{i} + \frac{m _{2} h}{2}, y_{i} + \frac{k _{2} h}{2}) k_{4} = g (t_{i} + h, x_{i} + m_{3} h, y_{i} + k_{3} h)