Ecuaciones Diferenciales de Frontera

Definición

Si tenemos un problema de ecuación diferencial con valores en la frontera de siguiente forma, podemos encontrar una aproximación para los valores de $y$.

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })a\le x\le b\\ y(a)=\alpha \\ y(b)=\beta \end{array}$$

A diferencia que los problemas de valores iniciales de segundo orden, este problema no requiere escribir la ecuación diferencial como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Aproximación por Diferencias Finitas

Definimos $h=(b-a)/n$, donde $x_i=a+ih,\forall i=0,1,\cdots ,n$

Podemos reescribir el problema como:

$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$$

Luego, a partir de aproximar $y^{\prime \prime }$ y $y^{\prime }$ con el polinomio de Taylor centrado, podemos simplificar la expresión para obtener un sistema de ecuaciones

$$y_{i+1}[1+P_i\frac{h}{2}]+y_i[1Q_i{h}^2-2]+y_{i-1}[1-P_i\frac{h}{2}]=h^2{f}_i$$

A partir de resolver el sistema de ecuaciones, evaluando la expresión en $i=1,2,\cdots ,n-1$. Encontramos una aproximación de $y$ para los puntos de red dentro del intervalo $[a,b]$.