Propiedades de la diferenciabilidad

• Una suma de funciones $C^1$ es $C^1$
• Un producto de función $C^1$ es $C^1$
• Un cociente de funciones $C^1$ es $C^1$, (con denominador no nulo)

Regla de la Cadena

Sea $\vec{f}:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m,\vec{g}:D\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^p$. Si $\vec{f}$ es diferenciable en ${\vec{x}}_0$ y $\vec{g}$ es diferenciable en ${\vec{y}}_0=\vec{f}({\vec{x}}_0)$, entonces la composición $\vec{h}=\vec{g}\circ \vec{f}$, resulta diferenciable en ${\vec{x}}_0$, sí existe $\vec{h}$.

$\vec{h}$ existe si $\text{Img}(f)\subset Dom(g)$

$$D_{\vec{h}}({\vec{x}}_0)=D_{\vec{g}}(\vec{f}({\vec{x}}_0))\times D_{\vec{f}}({\vec{x}}_0)$$

Donde $D_{\vec{f}}$ es la matriz Jacobiana de $\vec{f}$

Árbol de derivación

$$h_x^{\prime }=g_u^{\prime }{f}_x^{\prime }+g_v^{\prime }{f}_x^{\prime }$$ $$h_y^{\prime }=g_u^{\prime }{f}_y^{\prime }+g_v^{\prime }{f}_y^{\prime }$$ $$h_z^{\prime }=g_u^{\prime }{f}_z^{\prime }+g_v^{\prime }{f}_z^{\prime }$$