Polinomio de Taylor

El teorema de Taylor permite obtener aproximaciones polinómicas de una función de un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable.

Para realizar esta aproximación, se igualan las derivadas de la función original a las derivadas de la aproximación polinómica

$$P(a)=f(a),P^{\prime }(a)=f^{\prime }(a),P^{\prime \prime }(a)=f^{\prime \prime }(a),\cdots$$ $$P(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\cdots$$

De esta manera, podemos definir el polinomio de Taylor como:

$$P(x)=\stackrel{\text{Aproximacion Cuadratica}}{\overbrace{\underset{\text{Aproximacion Lineal}}{\underbrace{f(a)+\frac{df}{dx}\frac{\cdot (x-a{)}^1}{1!}}}+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\frac{\cdot (x-a{)}^2}{2!}}}+\cdots$$

El polinomio de Taylor de grado $n$ es igual al polinomio de grado $(n-1)$ $+$ un término de grado $n$

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot (x-a{)}^k$$ $$P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}\cdot (x-a{)}^{n+1}$$

Polinomios de Taylor en varias variables

En campos escalares, se debe comprobar que todas las derivadas parciales del polinomio tengan el mismo valor que las derivadas parciales de $f$.

De esta manera, se demuestra que, para un polinomio de Taylor de grado 2,

$$\begin{array}{rl}p(x_0,y_0)& =f(x_0,y_0)\\ p_x^{\prime }(x_0,y_0)& =f_x^{\prime }(x_0,y_0)\\ p_y^{\prime }(x_0,y_0)& =f_y^{\prime }(x_0,y_0)\\ p_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ p_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ p_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\end{array}$$

Así resulta el único polinomio de Taylor de grado 2 en $x,y$ es:

$$\begin{array}{rl}& p_2(x_0,y_0)=\stackrel{\text{Aproximacion Lineal (Plano Tangente)}}{\overbrace{f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f^{\prime }y(x_0,y_0)(y-y_0)}}\\ & +\frac{1}{2!}[f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2+2f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)(y-y_0{)}^2]\end{array}$$

Análogamente, el polinomio de Taylor de grado 3 en $x,y$ es:

$$\begin{array}{rl}{p}_3& (x_0,y_0)=p_2(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{3!}[f_{xxx}^{\prime \prime \prime }(x_0,y_0)(x-x_0{)}^3+f_{yyy}^{\prime \prime \prime }(x_0,y_0)(y-y_0{)}^3\\ & +3f_{xxy}^{\prime \prime \prime }(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2(y-y_0)\\ & +3f_{yyx}^{\prime \prime \prime }(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0{)}^2]\end{array}$$

Definición Formal

$$p_k(x,y)=f(x_0,y_0)+\sum _{i=0}^k\frac{1}{i!}\sum _{j=0}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\frac{{\partial }^{i}f}{\partial x^{i-j}\partial y^j}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^{i-j}(y-y_0{)}^j$$