Límites

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\vec{f}(\vec{x})=\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon )/0<\Vert \vec{x}-{\vec{x}}_0\Vert <\delta ⟹\Vert \vec{f}(\vec{x})-\vec{L}\Vert <\epsilon$$

En el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para aproximarse a un punto. Para que exista el límite, por todos esos caminos posibles deberíamos observar que las imágenes de $f$ se aproximan aún el mismo valor.

En los campos y funciones vectoriales, el cálculo de límites se hace componente a componente

Estrategias

Para mostrar que un límite no existe

• Límites iterados (Acerco una componente al límite y después el otro)
• Acercarme por curvas del dominio que contengan al límite
  • Rectas: $y=m(x-x_0)+y_0$
  • Parábolas:
    • $y=m(x-x_0{)}^2+y_0$
    • $x=m(y-y_0{)}^2+x_0$
  • Curva de nivel $K$:
    • Me acerco por una curva de nivel $k$ que contenga el punto al que me quiero acercar

Para calcular límites

• Infinitésimo por Acotado (Producto de una expresión que tiende a cero y otra acotada)
• Por límites conocidos
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{senx}{x}=1$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{x}=0$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

Continuidad

Decimos que $\vec{f}(\vec{x})$ es continua en ${\vec{x}}_0$ si:

$$\begin{array}{c}\exists \vec{f}(\vec{x})\\ \exists \underset{\vec{x}\to {\vec{x}}_0}{\lim }\vec{f}(\vec{x})=\vec{L}\\ \vec{L}=\vec{f}({\vec{x}}_0)\end{array}$$

Si $\vec{f}(\vec{x})$ es continua todos los puntos de $A$, entonces la función es continua en $A$.