Funciones Implícitas

Derivación de funciones escritas implícitamente

Función escrita Implícitamente: Expresión donde no hay una variable despejada.

Teorema de la función implícita

Sea $f(x,y,z)$ una función diferenciable en un entorno del punto $(x_0,y_0,z_0)$ donde $F(x_0,y_0,z_0)=0$ (*). Entonces, si $f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$, la expresión (*) define $z=f(x,y)$ en un entorno de $(x_0,y_0)$. (Pero no se puede despejar)

Además, $f$ es diferenciable en $(x_0,y_0)$ y

$$\begin{array}{rlr}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=-\frac{F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}& & f_y^{\prime }(x_0,y_0)=-\frac{F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}\end{array}$$

Condiciones

• $f$ debe ser diferenciable en un entorno de $(x_0,y_0,z_0)$
• $F(x_0,y_0,z_0)=k$
• $f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$

Generalización para $m$ ecuaciones con $n$ variables

Si se cumplen las condiciones (para $n>m$)

• Las funciones $F_1,F_2,\cdots ,F_m$ son simultáneamente $C^1$ en un entorno del punto
• Para todas las funciones se cumple $F_i({\vec{x}}_0)=0$
• Determinante jacobiano de las funciones con respecto a las variables dependientes es distinto de cero: $\Delta \left(\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_m)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_m)}\right)\ne 0$:

Entonces las $m$ variables se pueden definir como funciones de $(n-m)$ variables

$$\begin{array}{rl}{x}_1=f_1(x_{m+1},x_{m+2},& \cdots ,x_n)\\ x_2=f_2(x_{m+1},x_{m+2},& \cdots ,x_n)\\ & \cdots \\ x_m=f_m(x_{m+1},x_{m+2},& \cdots ,x_n)\end{array}$$

Además, las funciones $f$ resultan $C^1$ en cercanías del punto, siendo

$$\frac{\partial f_i}{\partial j}({\vec{x}}_{n\to m})=-\frac{\Delta \left(\frac{\partial (F_1,\cdots ,F_i,\cdots ,F_m)}{\partial (x_1,\cdots ,x_j,\cdots ,x_m)}\right)}{\Delta \left(\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_m)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_m)}\right)},\text{Remplazo }{x}_i\text{ con }{x}_j$$

La matriz superior es casi idéntica a la matriz inferior, remplazando las derivadas respecto de $i$ (Variable que estamos definiendo como función) con las derivadas respecto $j$ (Variable respecto a la cual estamos derivando)