Extremos de campos escalares

Sea $f:D\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, En ${\vec{x}}_0$ se localiza un:

• Mínimo Absoluto: $f({\vec{x}}_0)\le f(\vec{x})$ para $\vec{x}\in D$
• Mínimo Relativo: $f({\vec{x}}_0)\le f(\vec{x})$ para $\vec{x}$ en un entorno de ${\vec{x}}_0$
• Mínimo Absoluto: $f({\vec{x}}_0)\ge f(\vec{x})$ para $\vec{x}\in D$
• Mínimo Relativo: $f({\vec{x}}_0)\ge f(\vec{x})$ para $\vec{x}$ en un entorno de ${\vec{x}}_0$

Si $f$ es diferenciable en ${\vec{x}}_0$, el plano tangente a la curva en ${\vec{x}}_0$ (Siendo un máximo o un mínimo) deberá ser horizontal (Paralelo al plano $z=\text{cte}$). Entonces el gradiente es nulo.

Puntos Críticos

Son aquellos puntos del dominio donde puede que existan extremos

• No Estacionarios: Donde $f$ no es diferenciable
• Estacionarios: Donde $\nabla f=\vec{0}$

Un punto estacionario que no es extremo se denomina “punto silla” o “de ensilladura”

Criterio del Hessiano

El determinante hessiano de $f$ vale:

$$\Delta H_f=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime }& f_{xy}^{\prime }\\ f_{xy}^{\prime }& f_{yy}^{\prime }\end{array}\right|$$

Gracias a esto, podemos definir el punto estacionario:

$$\Delta H_f>0,f_{xx}^{\prime }>0.\text{Minimo Relativo}$$ $$\Delta H_f>0,f_{xx}^{\prime }<0.\text{Maximo Relativo}$$ $$\Delta H_f<0.\text{Punto Silla}$$

Note

Si $\Delta H_f=0$, No sirve el criterio

Tres Variables

En el caso de tres variables, debemos subdividir el Hessiano:

$${\Delta }_1=f_{xx}^{\prime \prime }$$ $${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{xy}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right|$$ $${\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }& f_{xz}^{\prime \prime }\\ f_{xy}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }& f_{yz}^{\prime \prime }\\ f_{xz}^{\prime \prime }& f_{yz}^{\prime \prime }& f_{zz}^{\prime \prime }\end{array}\right|$$

Gracias a esto, podemos definir el punto estacionario:

$${\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3>0.\text{Minimo Relativo}$$ $${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0.\text{Maximo Relativo}$$

Si no se cumple ninguna combinación, se considera un punto silla.

Note

Si ${\Delta }_i=0$ para algun $i$, No sirve el criterio