Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La incógnita es una función de una sola variable, las derivadas que aparecen son ordinarias (no parciales)

$$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$$

El orden de una EDO, es el orden de derivación más alto que aparece en la ecuación.

Diferenciales

Existen dos notaciones utilizadas para los diferenciales:

$$dy=y^{\prime }dx,\text{Newton}$$ $$\frac{dy}{dx}=y^{\prime },\text{Leibniz}$$

Resolver la EDO

Una solución general se contiene dos constantes de integración arbitrarias (es una familia de soluciones)

Una solución particular se obtiene dando valores a las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales

Una solución singular es una solución que verifica la ecuación, pero no pertenece a la solución general

Vamos a estudiar ecuaciones diferenciales de primer orden

Existencia y Unicidad

$$\text{PVI }\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ f(x_0)=y_0\end{array}$$ $$(x_0,y_0)\in [a,b]\times [c,d]$$

Si $f$ y $f_y^{\prime }$ continua en $(a,b)\times (c,d)$, entonces existe $I\subset (a,b)$ que contiene a $x_0$ / existe una solución $y=y(x)$, y es única en $I$.