Diferenciabilidad

Sea $f:D\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m,A\in D^{º}$, se dice que $f$ es diferenciable en ${\vec{x}}_0$ si:

$$\underset{\vec{x}\to {\vec{x}}_0}{\lim }\frac{f(\vec{x})-\stackrel{z}{\overbrace{[f({\vec{x}}_0)+\nabla f({\vec{x}}_0)(\vec{x}-{\vec{x}}_0)]}}}{\Vert \vec{x}-{\vec{x}}_0\Vert }=0$$

Definición en ${\mathbb{R}}^2$

Si $f:D\subset R^2\to R$ es diferenciable en $x_0,y_0$ solo si:

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{f(x,y)-\stackrel{z}{\overbrace{[f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)]}}}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}$$

Ver tabla de diferenciabilidad en: Tabla de Diferenciabilidad.pdf

Teoremas

Teorema 1

Si $f$ es diferenciable en $A$, entonces es continua en $A$

Teorema 2

Si $f$ es diferenciable en $A$, entonces es derivable en toda dirección en $A$

Teorema 3

Si $f:D\subset R^2\to R$ es diferenciable en $\vec{A}$, entonces: $f^{\prime }(\vec{A},\vec{v})=f_x^{\prime }(\vec{A})\cdot {\vec{v}}_x+f_y^{\prime }(\vec{A})\cdot {\vec{v}}_y$

Teorema 4

Si $f$ tiene derivadas parciales continuas en $A$, entonces es diferenciable

$$f\in C^1(A),f\text{ es }C1\text{ en }A$$

Plano tangente

Sea $f:D\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ diferenciable en $A=(x_0,y_0)$, se llama plano tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ al plano de ecuación:

$$z=f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Campos Vectoriales

$$\underset{\vec{x}\to {\vec{x}}_0}{\lim }\frac{\vec{f}(\vec{x})-\stackrel{z}{\overbrace{[\vec{f}({\vec{x}}_0)+J_f({\vec{x}}_0)(\vec{x}-{\vec{x}}_0{)}^t]}}}{\Vert \vec{x}-{\vec{x}}_0\Vert }=0$$