Derivadas

Funciones vectoriales

$$f(t)=(x,y,\cdots )$$

La derivada de una función vectorial se hace componente a componente, aplicando la definición de Análisis 1

Campos escalares

$$f(x,y)=\cdots$$

La derivada en un campo escalar depende de la dirección por la cual me aproximo al punto, por lo que se calcula según un vector director

$$f^{\prime }({\vec{x}}_0,\hat{v})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f({\vec{x}}_0+h\vec{v})-f({\vec{x}}_0)}{h}$$

La derivada direccional es un número real que representa la pendiente de la recta tangente trazada en $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$ a la curva que se obtiene cortando la gráfica de $f$ con una curva cuya traza en el plano $xy$ es la recta $(x,y)=(x_0,y_0)+h\vec{v}$, con $h\in R$.

Atención

Una función no tiene por qué ser continua en $x,y$ para ser derivable. En cálculos de varias variables, estos conceptos son independientes entre sí.

Derivadas parciales

Cuando $\vec{v}={\vec{e}}_k$ (vector canónico) la derivada se llama parcial $\frac{\partial f}{\partial e_k}(\vec{x})$

La derivada parcial $\partial$ se calcula derivando una sola variable y dejando a la otra como constante.

Si el dominio es más delicado, se analiza por definición

Teorema de Schwarz

Si las derivadas (cruzadas) $f_{xy}^{\prime \prime },f_{yx}^{\prime \prime }$ existen y son continuas, coinciden

$$f_{xyyxy}^{\prime \prime \prime \prime \prime }=f_{xxyyy}^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\frac{{\partial }^{5}f(x,y)}{\partial x^2\partial y^3}$$

Gradiente

Es un vector que indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente.

Si $f$ es diferenciable en $\vec{r}$, entonces:

$$\nabla f(\vec{r})=(f_{r_1}^{\prime }(\vec{r}),\cdots ,f_{r_n}^{\prime }(\vec{r}))$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(\vec{r},\hat{v})& =\nabla f(\vec{r})\cdot \hat{v}\\ & =\Vert \nabla f(\vec{r})\Vert \cdot \underset{=1}{\underbrace{\Vert \hat{v}\Vert }}\cdot \cos \theta \end{array}$$

La derivada es:

• Máxima $\Vert \nabla f(\vec{r})\Vert$ en $\theta =0$
• Mínima $\Vert \nabla f(\vec{r})\Vert$ en $\theta =\pi$
• Nula en $\theta =\frac{\pi }{2}$