Transformaciones Lineales

Sean $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ dos $\mathbb{K}$ espacios vectoriales, se dice que una función $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$ es una transformación lineal, si cumple:

• $T(u_1+u_2)=T(u_1)+T(u_2),\forall u_1,u_2\in \mathbb{V}$
• $T(\lambda u)=\lambda T(u),\forall u\in \mathbb{V}\text{ y }\lambda \in \mathbb{K}$

Para verificar que una función es una transformación lineal, entonces tengo que demostrar las dos propiedades anteriores para todo vector de $\mathbb{V}$.

Conjuntos de T.L.

• Se dice que $\mathbb{V}$ es el dominio de $T$ y $\mathbb{W}$ es el codominio de $T$

• Se le llama imagen de $T$ al conjunto:

  $$Im(T)=\{w\in \mathbb{W}:T(v)=w,v\in \mathbb{V}\}$$

• Si $S$ es un subespacio de $\mathbb{V}$, se llama imagen de $S$ por $T$, al conjunto:

  $$T(S)=\{w\in \mathbb{W}:T(v)=w,v\in S\}$$

• Si $U$ es un subespacio de $\mathbb{W}$, se llama preimagen de $U$ por $T$, al conjunto:

  $$T^{-1}(U)=\{x\in \mathbb{V}:T(x)\in U\}$$

• Se le llama núcleo de $T$ al conjunto:

  $$Nu(T)=\{x\in \mathbb{V}:T(x)=0_{\mathbb{W}}\}=T^{-1}(0_{\mathbb{W}})$$

Propiedades

Sea $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$ una transformación lineal, siendo $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$, espacios vectoriales:

• $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}⟹T(0_{\mathbb{V}})=0_{\mathbb{W}}$
• Sea $\mathbb{V}=gen(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$, entonces $Im(T)=gen(T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_m))$
• Si $S\subset \mathbb{V}$, entonces $T(S)\subset \mathbb{W}$
• Si $U\subset \mathbb{W}$, entonces $T^{-1}(U)\subset \mathbb{V}$
• Toda T.L. queda unívocamente determinada sobre una base.

Dimensión de subespacios fundamentales es una transformación lineal

Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$, entonces:

$$\text{dim}(Nu(T))+\text{dim}(Im(T))=\text{dim}(\mathbb{V})$$

Clasificación

Sea $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$ una transformación lineal, siendo $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$, $\mathbb{K}$-espacios vectoriales:

• Monomorfismo: Si es una transformación lineal inyectiva $:x_1\ne x_2,F(x_1)\ne F(x_2)$
• Epimorfismo: Si es una transformación lineal sobreyectiva $:Im(F)=Cod(F)=\mathbb{W}$
• Isomorfismo: Sí es una transformación lineal biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)

Una transformación lineal es un monomorfismo cuando su núcleo es de dimensión 0. Es decir, solo hay una forma de generar cada elemento.

Una transformación lineal es un epimorfismo cuando la dimensión de la imagen es de igual dimensión que $\mathbb{W}$. Es decir, se generan todos los elementos del codominio.

Matriz de T.L.

Si $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ son espacios vectoriales de dimensión finita, podemos encontrar una expresión matricial para una transformación lineal $T:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$.

Supongamos que $B$ y $B^{\prime }$ son bases de $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ respectivamente. $B=\{v_1,\cdots ,v_n\},B^{\prime }=\{w_1,\cdots ,w_m\}$

$$\begin{array}{c}x\in \mathbb{V},x={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n⟹T(x)=T({\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n)\\ \\ [T(x){]}^{B^{\prime }}={\alpha }_1[T(v_1){]}^{B^{\prime }}+\cdots +{\alpha }_n[T(v_n){]}^{B^{\prime }}\end{array}$$ $$[T(x){]}^{B^{\prime }}=[[T(v_1){]}^{B^{\prime }}|\cdots \left|\right[T(v_n){]}^{B^{\prime }}]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]$$

Entonces, obtenemos una matriz de $m\times n$, que nos permite transformar cualquier vector de $\mathbb{V}$ con coordenadas en $B$, a un vector de $\mathbb{W}$ con coordenadas en $B^{\prime }$. A esta matriz se le llama matriz de $T$ con respecto a las bases $B$ y $B^{\prime }$, y se denota como $[T{]}_B^{B^{\prime }}$

$$[T(x){]}^{B^{\prime }}=[T{]}_B^{B^{\prime }}[x{]}^B$$