Subespacios de Matriz

Columna

Se define $\text{Col}(A)$, al subespacio formado por combinación lineal de las columnas de $A$

• El sistema $Ax=b$ tiene solución si $b\in \text{Col}(A)$. Si es solución única, entonces el conjunto de columnas es linealmente independiente.
• Se puede demostrar que $\text{Dim}(\text{Col}(A))=\text{Dim}(\text{Fil}(A))=\text{Rg}(A)$

Fila

Se define $\text{Fil}(A)$, al subespacio formado por combinación lineal de las filas de $A$

• El sistema $A^{t}x=b$ tiene solución si $b\in \text{Fil}(A)$. Si es solución única, entonces el conjunto de filas es linealmente independiente.
• Se puede demostrar que $\text{Dim}(\text{Col}(A))=\text{Dim}(\text{Fil}(A))=\text{Rg}(A)$

Núcleo

Se define el núcleo de un sistema lineal como el subespacio de combinaciones lineales nulas del mismo

$$\text{Nul}(A)=\{x\in {\mathbb{K}}^n/Ax=0\}$$ $$\text{Nul}(A^T)=\{x\in {\mathbb{K}}^n/A^{T}x=0\}$$

Si la dimensión del núcleo es mayor a 0, entonces el sistema no es linealmente independiente.

• $\text{Dim}(\text{Col}(A))=\text{Dim}(\text{Fil}(A))=\text{Rg}(A)$
• $\text{Rg}(A)+\text{Dim}(\text{Nul}(A))=n$
• Si $\text{Nul}(B)\subseteq \text{Nul}(AB)$ y $\text{Col}(B)\cap \text{Nul}(A)=\{0_{{\mathbb{K}}^n}\}$, entonces $\text{Nul}(B)=\text{Nul}(AB)$
• Si $\text{Col}(AB)\subseteq \text{Col}(A)$ y $\text{Rg}(B)=n$, entonces $\text{Col}(AB)=\text{Col}(A)$