Producto Interno

Definición

Si $\mathbb{V}$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial, se dice que una función $⟨\ast ,\ast ⟩:\mathbb{V}\times \mathbb{V}\to \mathbb{K}$ es un producto interno (P.I.) si cumple:

• $⟨\alpha u+\beta v,w⟩=\alpha ⟨u,w⟩+\beta ⟨v,w⟩⟸\forall u,v,w\in \mathbb{V}\wedge \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K}$
• $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}⟸\forall u,v\in V\text{Conjugado}$
• $⟨u,u⟩>0⟺u\in \mathbb{V}\ne 0_V$
• $⟨u,u⟩=0⟺u\in \mathbb{V}=0_V$

Consecuencias Inmediatas

1. $⟨u,u⟩\in \mathbb{R}⟸\forall u\in \mathbb{V}$
2. $⟨u,\alpha v+\beta w⟩=\overline{\alpha }⟨u,v⟩+\overline{\beta }⟨u,w⟩⟸\forall u,v,w\in \mathbb{V}$
3. $⟨0,u⟩=0⟸\forall u\in \mathbb{V}$

Nociones del Producto Interno

Norma

Es inducida por el producto interno

$$\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u,u⟩}$$

Cumple las siguientes propiedades:

• $||u||>0$
• $||\lambda u||=|\lambda |.||u||$
• $||u||=0⟺u=0_V$

Distancia

Sean $u,v\in \mathbb{V}$, definimos la distancia entre $u,v$ como

$$d(u,v)=\Vert u-v\Vert =\Vert v-u\Vert$$

Ortogonalidad

Sean $u,v\in \mathbb{V}$, se dice que son ortogonales si

$$⟨u,v⟩=0⟺u\perp v$$

Ejemplos Básicos

• Producto Interno canónico en ${\mathbb{R}}^n$: Se cumple la siguiente igualdad para $X,Y\in {\mathbb{R}}^n$

  $$⟨X,Y⟩=Y^{T}X$$

• Producto Interno canónico en $C^n$: Se cumple la siguiente igualdad para $X,Y\in {\mathbb{C}}^n$

  $$⟨X,Y⟩={\overline{Y}}^{T}X$$

• Si tomamos $\mathbb{V}$ = $C([0,1])$, entonces para $f,g$ funciones continuas en el intervalo $[0,1]$

  $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(t)g(t)dt$$

  Note

  Este producto interno nos permite calcular la norma y la distancia entre funciones continuas.

• Si tomamos $\mathbb{V}={\mathbb{R}}^2$, entonces para $X,Y\in \mathbb{V}$, podemos definir el producto interno

  $$⟨X,Y⟩=X\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 2\end{array}\right)Y^T$$

  Lo que es equivalente a la siguiente expresión

  $$⟨(x_1,x_2{)}^T,(y_1,y_2{)}^T⟩=(x_1,x_2)\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$$ $$⟨(x_1,x_2{)}^T,(y_1,y_2{)}^T⟩=(4x_1{y}_1-x_2{y}_1-x_1{y}_2+2x_2{y}_2)$$

Base de Producto Interno

Si $\mathbb{V}$ es un espacio vectorial de dimensión finita, todo P.I. queda definido sobre una base de $\mathbb{V}$. Más aún, si $B=\{v_1,...,v_n\}$ todo P.I. puede escribirse como:

$$⟨u,v⟩={\overline{[v{]}^B}}^T{G}_B[u{]}^B=[u{]}^{B^T}{G}_B\overline{[v{]}^B}$$ $$⟨u,v⟩=[x_1,x_2,...,x_n]\left[\begin{array}{cccc}⟨v_1,v_1⟩& ⟨v_1,v_2⟩& \cdots & ⟨v_1,v_n⟩\\ ⟨v_2,v_1⟩& ⟨v_2,v_2⟩& \cdots & ⟨v_2,v_n⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨v_n,v_1⟩& ⟨v_n,v_2⟩& \cdots & ⟨v_n,v_n⟩\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overline{y_1}\\ \overline{y_2}\\ ⋮\\ \overline{y_n}\end{array}\right]$$

Con $G_B\in K^{n\times n}$ una matriz hermética y definida positiva.

• $G_B\in K^{n\times n}$ es una matriz hermética si y solo si $G_B={\overline{G_B}}^T$, Las matrices herméticas son un subconjunto de las matrices simétricas, extendida a las matrices con coeficientes reales.
• $G_B\in K^{n\times n}$ es definida positiva si y solo si $X^T{G}_{B}X>0⟸\forall X\in K^n\ne \{0_{{\mathbb{K}}^n}\}$

Propiedades

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz:

$$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert ⟸\forall u,v\in \mathbb{V}$$ $$\text{Mas aun:}\{\begin{array}{l}|⟨u,v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert ⟺u,v\text{ son L.D}\\ |⟨u,v⟩|<\Vert u\Vert \Vert v\Vert ⟺u,v\text{ son L.I}\end{array}$$

Desigualdad Triangular:

$$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert ⟸\forall u,c\in \mathbb{V}$$

Teorema de Pitágoras:

Si $⟨u,v⟩=0⟺u\perp v$ (es decir, si trabajamos con vectores perpendiculares) se cumple que

$$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$$

Ángulo entre $u,v$:

Como consecuencia la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, llegamos a la siguiente expresión

$$-1\le \frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }\le 1$$

Extendemos entonces la definición de ángulo, para cualquier $\mathbb{R}$-espacio vectorial

$$\cos (\theta )=\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }⟸\theta \in [0,\pi ]$$ $$\alpha (u,v)=\theta$$

Área de un triángulo

Sea $△$ un triángulo de vértices $(0,e_1,e_2)$, entonces el área de este triángulo se calcula con la siguiente fórmula

$$A(△)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\Vert e_1{\Vert }^2\Vert e_2{\Vert }^2-⟨e_1,e_2{⟩}^2}$$

Área de un paralelogramo

Se puede dividir el paralelogramo en dos triángulos y usar la fórmula anterior para encontrar su área.

$$A(△)=\sqrt{\Vert e_1{\Vert }^2\Vert e_2{\Vert }^2-⟨e_1,e_2{⟩}^2}$$