Operaciones entre Subespacios

Intersección

$$A\cap B=\{x/x\in A\wedge x\in B\}$$

Si $A,B$ son dos subespacios, entonces la intersección de ambos sigue siendo un subespacio.

Es el subespacio más grande incluido en ambos conjuntos

Unión

$$A\cup B=\{x/x\in A\vee x\in B\}$$

Si $A,B$ son dos subespacios, entonces la unión no genera otro subespacio.

Suma

$$C=A+B=\{v\in \mathbb{V}/v=a+b,a\in A,b\in B\}$$

Un generador de esta suma es el conjunto de vectores de ambos generadores de $A,B$. (Aunque este generador no necesariamente es linealmente independientes)

La suma de dos subespacios $A,B$ genera otro subespacio. Es el subespacio más chico que incluye a ambos conjuntos con las manos vacías.

Si $dim(A\cup B)=0$, entonces la suma de ambos subespacios se denomina suma directa y se denota como $A\oplus B$

$$dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A\cap B)$$

Suplemento

Se dice que $W$ es suplemento de $A$ cuando $A\oplus W=\mathbb{V}$