Método de Gram-Schmidt

Es un método que nos permite encontrar una base ortogonal de cualquier subespacio, a partir de la aplicación de un mismo algoritmo de forma recursiva.

Si tenemos una base $B=\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$, podemos construir una nueva base $B^{\prime }=\{w_1,w_2,\cdots ,w_n\}$, siendo $w_1,w_2,\cdots ,w_n$ vectores ortogonales entre sí. De forma tal que

$$\begin{array}{c}{S}_1=gen(v_1)=gen(w_1)\\ S_2=gen(v_1,v_2)=gen(w_1,w_2)\\ ⋮=⋮\\ S_n=gen(v_1,v_2,\cdots ,v_n)=gen(w_1,w_2,\cdots ,w_n)\end{array}$$

Definimos entonces el primer vector de la base original

$$w_1=v_1$$

Luego, encontramos el siguiente a partir de la proyección

$$w_2=v_2-P_{S_1}(v_2)=v_2-\frac{⟨v_2,w_1⟩}{\Vert w_1{\Vert }^2}{w}_1$$

Por propiedades de la proyección, $w_2$ es un vector ortogonal a $v_1,(w_1)$

Repetimos la misma lógica para el próximo elemento

$$w_3=v_3-P_{S_2}(v_3)=v_3-(\frac{⟨v_3,w_1⟩}{\Vert w_1{\Vert }^2}{w}_1+\frac{⟨v_3,w_2⟩}{\Vert w_2{\Vert }^2}{w}_2)$$

Continuamos hasta el último vector de la nueva base

$$w_n=v_n-(\frac{⟨v_n,w_1⟩}{\Vert w_1{\Vert }^2}{w}_1+\frac{⟨v_n,w_2⟩}{\Vert w_2{\Vert }^2}{w}_2+\cdots +\frac{⟨v_n,w_{n-1}⟩}{\Vert w_{n-1}{\Vert }^2}{w}_{n-1})$$

Si en lugar de buscar un base ortogonal, buscamos una base ortonormal, entonces debemos dividir cada vector por su norma

$$w_n^{\prime }:=\frac{w_n}{\Vert w_n\Vert }$$

Descomposición $QR$ de una matriz $A$

Con el algoritmo de Gram-Schmidt teníamos una forma de encontrar vectores $w_i$ ortogonales entre sí. En lugar de los vectores $w$, podemos despejar los vectores $v$.

Podemos entonces definir una matriz

$$A=\left[\begin{array}{cccc}|v_1|& |v_2|& \cdots & |v_n|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}|w_1|& |w_2|& \cdots & |w_n|\end{array}\right]\cdot R^{n\times n}$$

El subespacio columna de la matriz es el subespacio en cuestión, siendo $B^{\prime }=\{w_1,w_2,\cdots ,w_n\}$ una base ortogonal de $Col(A)$

Por propiedades de las columnas del producto matricial, encontramos la matriz $R^{k\times k}$

$$R=\left[\begin{array}{cccc}1& {\alpha }_{12}& \cdots & {\alpha }_{1k}\\ 0& 1& \cdots & {\alpha }_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\alpha }_{(k-1)k}\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]\to {\alpha }_{ij}=⟨v_j,w_i⟩$$

Dada una matriz $A\in {\mathbb{R}}^{m\times k}$ $Rg(A)=k$, una descomposición $QR$ de $A$ es una factorización de la forma $A=QR\to Q\in {\mathbb{R}}^{m\times k},R\in {\mathbb{R}}^{k\times k}$

Además, se cumple que $Q^{T}Q=I_k$

Teorema de Representación de Riesz

Sea $\mathbb{V}$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial de dimensión finita con P.I., Si $\varphi :\mathbb{V}\to \mathbb{K}$ es cualquier función lineal no nula, existe un único $w\in \mathbb{V}$ tal que $⟨X,w⟩=\varphi (X),\forall X\in \mathbb{V}$