Coordenadas

Cualquier vector perteneciente a un subespacio $S$ puede representarse como una única combinación lineal de los elementos de una base $B$ del subespacio.

Se le llama coordenadas de $v$ con respecto a la base $B$ a la $n$-upla en ${\mathbb{K}}^n$ formada por los escalares $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ que participan en la combinación lineal del elemento $v$.

Así podemos definir la función $[v{]}^B:\mathbb{V}\to {\mathbb{K}}^n$, que dado un vector $v$ y una base $B$, nos devuelve el conjunto de escalares que forman $v$.

Matriz de Cambio de Base

Sean $B=\{v_i:i\in I_n\}$ y $B^{\prime }=\{w_i:i\in I_n\}$ dos bases del espacio vectorial $\mathbb{V}$. Entonces cada vector del subespacio lo puedo anotar como

$$[v{]}^B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]⟹v={\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$$ $$\begin{array}{rl}[v{]}^{B^{\prime }}& =[{\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_n{v}_n{]}^{B^{\prime }}\\ [v{]}^{B^{\prime }}& =\underset{M^{n\times n}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}[v_1{]}^{B^{\prime }}& [v_2{]}^{B^{\prime }}& \cdots & [v_n{]}^{B^{\prime }}\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]=M_B^{B^{\prime }}[v{]}^B\end{array}$$

A esta matriz se le llama, matriz de cambio de base de $B$ a $B^{\prime }$. Y sirve para, justamente, encontrar las coordenadas de cualquier vector respecto de $B^{\prime }$, usando sus coordenadas respecto a $B$. Si multiplico la matriz por una coordenada en la base $B$, me devuelve la misma coordenada en la base $B’$

$$M_B^e=\left[\begin{array}{c}{v}_1|v_2|\cdots |v_n\end{array}\right]=(M_e^B{)}^{-1}$$ $$M_B^{B^{\prime }}=M_e^{B^{\prime }}{M}_B^e$$